Integral Lipat Dua

1. Definisi Integral Lipat Dua

Integral lipat dua adalah integral ganda yang digunakan untuk menghitung volume di bawah permukaan yang dinyatakan oleh fungsi dua variabel. Integral lipat dua melibatkan integrasi dari fungsi $f(x, y)$ di atas daerah $D$ pada bidang $xy$.

Integral lipat dua dari fungsi $f(x, y)$ di atas daerah $D$ dilambangkan sebagai:

${\iint }_{D}f(x,y)dA$

di mana $dA$ adalah elemen area kecil di daerah $D$. Jika daerah $D$ dibatasi oleh $a \leq x \leq b$ dan $c \leq y \leq d$, maka integral lipat dua dapat ditulis sebagai:

$\iint_D f(x, y) \, dA = \int_a^b \int_c^d f(x, y) \, dy \, dx$

2. Cara Menghitung Integral Lipat Dua

Untuk menghitung integral lipat dua, kita bisa mengikuti langkah-langkah berikut:

1. Tentukan batas-batas integrasi: Tentukan batas-batas daerah $D$ di mana integrasi dilakukan.
2. Integrasikan fungsi: Integrasikan fungsi $f(x, y)$ terlebih dahulu terhadap satu variabel (biasanya $y$), kemudian integrasikan hasilnya terhadap variabel lainnya (biasanya $x$).

3. Contoh Soal Integral Lipat Dua

Hitung integral lipat dua dari fungsi $f(x, y) = x + y$ di atas persegi panjang yang dibatasi oleh $0 \leq x \leq 2$ dan $0 \leq y \leq 1$

Langkah-langkah:

1. Tentukan batas-batas integrasi:

   • Batas $x$: $0$
   • Batas $y$: $0$

2. Integrasikan fungsi:

$\iint_D (x + y) \, dA = \int_0^2 \int_0^1 (x + y) \, dy \, dx$

• Integrasi terhadap $y$:

$\int_0^1 (x + y) \, dy = \left[ xy + \frac{y^2}{2} \right]_0^1 = x(1) + \frac{(1)^2}{2} - (x(0) + \frac{(0)^2}{2}) = x + \frac{1}{2}$

• Integrasi terhadap $x$:

${\int }_0^2(x+\frac{1}{2})dx={[\frac{x^2}{2}+\frac{x}{2}]}_0^2=(\frac{2^2}{2}+\frac{2}{2})-(\frac{0^2}{2}+\frac{0}{2})=2+1=3$

Jadi, nilai integral lipat dua tersebut adalah 3.