Deret Fourier

1. Definisi Deret Fourier

Deret Fourier adalah representasi fungsi periodik sebagai jumlah dari sinus dan kosinus. Prinsip dasar dari Deret Fourier adalah bahwa setiap fungsi periodik dapat didekomposisi menjadi jumlah dari harmonisa (frekuensi dasar dan kelipatannya).

Persamaan Deret Fourier

Untuk fungsi periodik $f(t)$ dengan periode $T$, Deret Fourier adalah:

$f(t)=a_0+{\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n\cos \left(\frac{2\pi nt}{T}\right)+b_n\sin \left(\frac{2\pi nt}{T}\right))$

Di mana koefisien $a_0$, $a_n$, dan $b_n$ diberikan oleh:

$a_0 = \frac{1}{T} \int_0^T f(t) \, dt$

$a_n=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(t)\cos \left(\frac{2\pi nt}{T}\right)dt$

$b_n = \frac{2}{T} \int_0^T f(t) \sin \left( \frac{2\pi nt}{T} \right) \, dt$

Syarat Dirichlet

Untuk bisa diwakilkan dengan Deret Fourier, fungsi $f(t)$ harus memenuhi syarat Dirichlet:

1. $f(t)$ terdefinisi, terbatas, dan terintegrasi pada interval $[0, T]$.
2. $f(t)$ memiliki sejumlah terbatas dari diskontinuitas dalam satu periode.
3. $f(t)$ memiliki sejumlah terbatas dari titik ekstrim (maksimum dan minimum) dalam satu periode.

2. Contoh Soal Deret Fourier

Misalkan $f(t)$ adalah fungsi segitiga dengan periode $T = 2\pi$:

$$\begin{cases} t & \text{untuk } -\pi \leq t \leq \pi \\ t - 2\pi & \text{untuk } \pi < t \leq 2\pi \end{cases}$$

Untuk menghitung koefisien Fourier, pertama kita cari $a_0$:

$a_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} t \, dt = \frac{1}{2\pi} \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{-\pi}^{\pi} = \frac{1}{2\pi} \left( \frac{\pi^2}{2} - \frac{(-\pi)^2}{2} \right) = 0$

Kemudian, kita cari $a_n$:

$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} t \cos(nt) \, dt$

Karena $t \cos(nt)$ adalah fungsi ganjil dan kita mengintegralkan dari $-\pi$ ke $\pi$, hasil integralnya adalah 0:

$a_n=0$

Selanjutnya, kita cari $b_n$:

$b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }t\sin (nt)dt$

Integral ini memerlukan integrasi parsial. Misalkan $u = t$ dan $dv = \sin(nt) \, dt$. Maka:

$du=dt$

$v = -\frac{\cos(nt)}{n}$

Kemudian,

$b_n = \frac{1}{\pi} \left( \left[ -\frac{t \cos(nt)}{n} \right]_{-\pi}^{\pi} + \frac{1}{n} \int_{-\pi}^{\pi} \cos(nt) \, dt \right)$

Integral kedua adalah nol karena $\cos(nt)$ adalah fungsi genap dan integral dari $-\pi$ ke $\pi$ adalah nol. Bagian pertama juga nol karena $\cos(n\pi)$ dan $\cos(-n\pi)$ sama. Sehingga,

$b_n = \frac{1}{\pi} \left( 0 \right) = 0$

Dengan demikian, deret Fourier untuk fungsi segitiga ini adalah nol. Ini menunjukkan bahwa hasil integral harmonisa sinus dan kosinus untuk fungsi segitiga dengan periode $2\pi$ adalah nol dalam hal koefisien Fourier.