Integral Fungsi Rasional

Integral Fungsi Rasional: Definisi, Teknik dan Contoh soal

 1. Definisi Integral Fungsi Rasional

Fungsi rasional adalah fungsi yang dapat dinyatakan sebagai perbandingan dua polinomial. Secara umum, fungsi rasional $f(x)$dapat ditulis sebagai:

f(x) =  $\frac{𝑃(𝑥)}{𝑄(𝑥)}$

2. Teknik Pada Integral Fungsi Rasional

a. Teknik Dekomposisi Pecahan Parsial

Jika $\frac{P(x)}{Q(x)}$ adalah fungsi rasional yang derajat pembilangnya lebih kecil dari derajat penyebutnya, kita dapat menggunakan decomposisi pecahan parsial. Ini melibatkan menulis $\frac{P(x)}{Q(x)}$ sebagai jumlah pecahan-pecahan yang lebih sederhana.

Contoh Soal Pecahan Parsial

Integralkan $\frac{1}{{𝑥}^2-1}$

Langkah-langkah:

• Decomposisi pecahan parsial dari $\frac{1}{{𝑥}^2-1}$:

$\frac{1}{{𝑥}^2-1}=\frac{1}{(𝑥-1)(𝑥+1)}$

• Decomposisi menjadi pecahan parsial:

$\frac{1}{(𝑥-1)(𝑥+1)}=\frac{𝐴}{𝑥-1}+\frac{𝐵}{𝑥+1}$

• Tentukan nilai $𝐴$ dan $𝐵$:

$1=𝐴(𝑥+1)+𝐵(𝑥-1)$

Untuk $𝑥=1$:

$1=𝐴(1+1)\Rightarrow 1=2𝐴\Rightarrow 𝐴=\frac{1}{2}$

Untuk $𝑥=-1$:

$1=𝐵(-1-1)\Rightarrow 1=-2𝐵\Rightarrow 𝐵=-\frac{1}{2}$

Jadi,

$\frac{1}{(𝑥-1)(𝑥+1)}=\frac{1\mathrm{/}2}{𝑥-1}-\frac{1\mathrm{/}2}{𝑥+\mathrm{1}}$

• Integralkan setiap bagian:

$\int \frac{1}{{𝑥}^2-1}𝑑𝑥=\int (\frac{1\mathrm{/}2}{𝑥-1}-\frac{1\mathrm{/}2}{𝑥+1})𝑑𝑥$

$=\frac{1}{2}\int \frac{1}{𝑥-1}𝑑𝑥-\frac{1}{2}\int \frac{1}{𝑥+1}𝑑𝑥$

$=\frac{1}{2}\ln \mathrm{\mid }𝑥-1\mathrm{\mid }-\frac{1}{2}\ln \mathrm{\mid }𝑥+1\mathrm{\mid }+𝐶$

$=\frac{1}{2}\ln \mid \frac{𝑥-1}{𝑥+1}\mid +𝐶\mathrm{<br>}\mathrm{<br>}\mathrm{<br>}\mathrm{<br>}$

b. Teknik Pembagian Polinomial

Jika derajat pembilang lebih besar atau sama dengan derajat penyebut, kita perlu membagi pembilang dengan penyebut.

Contoh Soal Pembagian Polinomial

Integralkan $\frac{{𝑥}^2+3𝑥+4}{𝑥+1}$

Langkah-langkah:

• Bagi $x^2 + 3x + 4$ dengan $x+\mathrm{1:}$

$x^2+3x+4÷x+1$

Hasil pembagian adalah $x + 2$ dengan sisa $2$:

$\frac{x^2 + 3x + 4}{x + 1} = x + 2 + \frac{2}{x + 1}$

• Integralkan setiap bagian:

$\int \left( x + 2 + \frac{2}{x + 1} \right) \, dx$

$=\int xdx+\int 2dx+\int \frac{2}{x+1}dx$

$= \frac{x^2}{2} + 2x + 2 \ln|x + 1| + C$