Transformasi Laplace

1. Definisi Transformasi Laplace

Transformasi Laplace adalah alat matematika yang digunakan untuk mengubah fungsi dalam domain waktu menjadi fungsi dalam domain frekuensi kompleks. Transformasi ini sangat berguna dalam analisis sistem linear, pemecahan persamaan diferensial, dan pengendalian sistem.

Transformasi Laplace dari suatu fungsi $f(t)$, yang terdefinisi untuk $t\ge \mathrm{0,\; didefinisikan\; sebagai:}$

$\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_0^\infty e^{-st} f(t) \, dt$

Di mana:

• $\mathcal{L}\{f(t)\}$ adalah notasi untuk Transformasi Laplace dari $f(t)$.
• $F(s)$ adalah fungsi hasil transformasi di domain frekuensi kompleks.
• $s$ adalah variabel kompleks, yang biasanya ditulis sebagai $s = \sigma + j\omega$ dengan $\sigma$ dan $\omega$ adalah bilangan real.

2. Sifat-Sifat Transformasi Laplace

1. Linearitas: $\mathcal{L}\{af(t) + bg(t)\} = aF(s) + bG(s)$
   

2. Pergeseran Waktu: $\mathcal{L}\{f(t-a)u(t-a)\} = e^{-as}F(s)$
   

3. Derivatif: $\mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0)$
   

4. Integral: $\mathcal{L}\left\{\int_0^t f(\tau) \, d\tau\right\} = \frac{F(s)}{s}$

5. Pergeseran dalam Domain $s$: $\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s-a)$
   

3. Transformasi Laplace dari Fungsi-Fungsi Umum

• $\mathcal{L}\{1\} = \frac{1}{s}$
• $\mathcal{L}\{t^n\} = \frac{n!}{s^{n+1}}$
• $\mathcal{L}\{e^{at}\} = \frac{1}{s-a}$
• $\mathcal{L}\{\cos(\omega t)\} = \frac{s}{s^2 + \omega^2}$
• $\mathcal{L}\{\sin (\omega t)\}=\frac{\omega }{s^2+{\omega }^2}$

4. Contoh Soal Transformasi Laplace 

Transformasi Laplace dari $𝑓(𝑡)={𝑒}^{2𝑡}$

Penyelesaian: Menggunakan tabel transformasi Laplace, kita tahu bahwa:

$\mathcal{𝐿}\{{𝑒}^{𝑎𝑡}\}=\frac{1}{𝑠-𝑎}$

Untuk $𝑎=2$, kita dapatkan:

$\mathcal{𝐿}\{{𝑒}^{2𝑡}\}=\frac{1}{𝑠-2}$

​​